Fraktalteori
Fraktal typ MandelbrotIndex
Fraktaler
Slumpvandring
Iteration
Fraktal geometri
Benoit Mandelbrot
Georg Cantor
Gaston Julia
Dimensionsteori
Avsnitten
fraktaler - dimensionsteori är hämtadefrån Bra Böckers NE
och något omarbetade.
Eller vill du istället:
Titta på några fraktaler?
Hoppa till Fraktal homepage
Hoppa till index
Fraktal
(av lat. fra'ctus 'bruten', av fra'ngo 'bryta sönder'), inom matematiken benämning på en bild eller en mängd som är starkt sönderbruten (se bilderna1-6), i motsats till räta linjer, cirklar, trianglar och andra figurer inom den klassiska euklidiska geometrin.Exempel på fraktaler i naturen är konturen av ett moln, ett träd, ett löv eller ett berglandskap, röken från en skorsten och virvelbildningen bakom ett flygplan eller i ett vattenfall. Sedan 1970-talet har fraktalbegreppet i ökande omfattning använts inom olika vetenskaper för att beskriva delar av verkligheten: turbulens (virvelbildning) och kaos i fysiken, modeller av tillväxt i biologin och kemin (t.ex. det mönster som bildas av fällningen vid elektrolys), beskrivningen i geografin av en kustlinje, modellen i fysiken för små rökpartiklars rörelse i luft (brownsk rörelse)
Ordet fraktal infördes 1975 av B.B. Mandelbrot; starkt sönderbrutna mängder kallades tidigare ofta för mängder av bruten dimension. En exakt, tillfredsställande definition av begreppet fraktal saknas.
I matematiken har fraktaler använts sedan slutet av 1800-talet för att ge exempel på ett uppförande som avviker från det som är normalt i den klassiska euklidiska geometrin och matematiska analysen. En typisk fraktal är Sierpinski-triangeln nedan.
Bild 1
Det är den gulfärgade, starkt sönderbrutna figur som blir kvar sedan man från en triangel tagit bort alla svarta deltrianglar enligt mönstret i bild1. Sierpinski-triangeln är självlikformig: om man förstorar en liten del av fraktalen, har den uppförstorade delen samma form som fraktalen i sin helhet.Sierpinski-triangeln har ett oändligt djup i den meningen att mönstret upprepas i godtyckligt små skalor.
Många andra fraktaler kan konstrueras på liknande sätt, exempelvis Cantor-mängden (se bild i avsnittet om Georg Cantor) och von Kochs snöflingekurva (se bild i avsnittet om dimensionsteori).Den senare är en kurva som i varje punkt saknar tangent (riktning) och därigenom bryter mot den klassiska geometrin och matematiska analysen enligt vilka en kurva förväntas ha en tangent i alla punkter. De fraktaler som förekommer i naturen har inte ett oändligt djup, utan den fraktala strukturen försvinner om vi betraktar detaljerna i små skalor. De har också en svagare form av självlikformighet.
Hoppa till indexSlumpvandring
Sierpinski-triangeln kan även konstrueras genom en s.k. slumpvandring som går till på följande sätt: välj på en plan yta tre punkter A, B och C som bildar hörn i en triangel (bild 1 ovan).
Börja slumpvandringen i en godtyckligt vald startpunkt z0 på den plana ytan. Välj slumpvis en av punkterna A, B eller C och gå halvvägs från z0 till den valda punkten. Kalla den nya punkten z1 och upprepa slumpvandringen med z1 som ny startpunkt. Det ger en ny punkt z2 och i nästa steg en ny punkt z3 osv. Stryk de 100 första punkterna i slumpvandringen och markera sedan de följande 50000 punkterna med en valfri färg. Om man väljer gult och låter en dator räkna ut och markera punkterna får man bild 1 ovan.
Sierpinski-triangeln kallas för attraktor till slumpvandringen. Genom att välja andra regler (minst två) för slumpvandringen, regler som kan beskrivas med enkla matematiska funktioner, för man andra attraktorer. På detta sätt går det att konstruera Cantor-mängden, von Kochs snöflingekurva och andra fraktaler i matematiken och naturen som attraktorer till olika slumpvandringar. Lövet i bild 2
Bild 2
är konstruerat som attraktor till en slumpvandring med fyra regler. Genom att dels använda flera färger, dels välja med olika sannolikhet mellan reglerna för slumpvandringen kan man efterlikna (simulera) naturens fraktaler med en dator vad beträffar form och färg. På detta sätt kan naturliknande bilder framställas, t.ex. fantasilandskap i tecknande filmer. Fraktaler har även föreslagits som en kompakt representationsform för digital lagring av vanliga bilder.
Iteration
Innebär en upprepning av en och samma regel. Man kan framställa fraktalen i bild 3-6 om regeln bestämmer en vandring där startpunkten z0 ersätts av z1 = z02 + c och z1 av z2 = z12 + c etc.
Bild 3
Bild 3 är konstruerad så här: välj först ett värde på c. Välj z0 i en del av planet som svarar mot datorns bildskärm. Om vandringen leder bort från bildskärmen (leder mot oändligheten) färgläggs punkten z0 i en valfri färg som får bero på hur fort punkten lämnar bildskärmen - i annat fall färgas punkten z0 svart. Upprepas detta för alla punkter z0 på bildskärmen får man fraktalen i bild 2. Randen till den svarta mängden kallas Julia-mängden efter den franske matematikern Gaston Julia som på 1920-talet studerade denna typ av iteration.
Bild 4 nedan till vänster visar en förstoring av den inramade delen i bild 3.
Bild 4 
Bild 5
Fraktalen i bild 5 ovan till höger, känd som Mandelbrot-mängden, konstruerades i slutet av 1970-talet enligt samma princip, men med en fix startpunkt z0 och i stället färglagd efter vandringens uppförande för olika värden på konstanten c. Bild 6 nedan visar en förstoring av den inramade delen i bild 5.
Bild 6
Hoppa till indexFraktal geometri
Den matematiska undersökningen av fraktaler har bl.a. till syfte att beskriva deras geometriska struktur. En stor del av denna forskning har bedrivits sedan 1920-talet av A.S. Besicovitch (1891-1970) och hans elever i Storbritannien. De djupaste och mest användbara resultaten berör begreppet dimension, som kan sägas tala om hur stor del av rummet som fraktalen fyller ut.
Matematiskt mest tillfredsställande är Hausdorff-dimensionen, namngiven efter den tyske matematikern Felix Hausdorff som omkring 1920 gjorde de grundläggande undersökningarna.
Ett antal förenklade definitioner av begreppet fraktal dimension förekommer som i många situationer fungerar bra och överensstämmer med Hausdorff-dimensionen.
För en mängd som är självlikformig i den meningen att den kan delas upp i N kopior av sig själv i skalan S definierar man den fraktala dimensionen som det tal D som uppfyller N = 1/S(D). För t.ex. Sierpinski-triangeln är N = 3 och S = 1/2 och D = log3/log2 appr= 1,6, medan det inre av en vanlig triangel har dimensionen 2.
Den fraktala dimensionen kan även definieras för allmännare mängder.
Man har funnit genom experimentell bestämning att Storbritanniens kustlinje har dimensionen 1,2 samt att den brownska rörelsen för en rökpartikel sker längs en kurva med dimension 2, trots att en slät kurva liksom en rät linje har dimensionen 1.
Litt.:
M.Barnsley, Fractals Everywhere (1988);
J.Gleick, Kaos, vetenskap på nya vägar (sv. övers. 1988);
B.B.Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (1982);
H.-O.Peitgen & P.H.Richter, The Beauty of Fractals (1986);
H.Wallin m.fl., "Matematiska bilder av fraktaler och kaos", Nordisk Matematisk Tidskrift 1990 (bilderna i artikeln är tagna från denna referens).
Benoit Mandelbrot
Född 1924, polsk-fransk matematiker, under lång tid verksam vid IBM i USA.M är mest känd för det av honom införda begreppet fraktal och dess tillämpningar vid studiet av dynamiska system.
Georg Cantor
1845-1918, tysk matematiker, mest känd som skaparen av mängdteorin. Utgående från sina undersökningar av trigonometriska serier leddes C. dels till att skapa en stringent teori för de reella talen, dels till insikten att det finns oändliga mängder av olika storlek (kardinalitet). Han skapade så en teori för transfinita tal och införde vidare flera flera fundamentala begrepp inom topologin.I början mötte många av C:s idéer motstånd, och de är än idag omdiskuterade inom matematikens filosofi. Under 1900-talet har de emellertid kommit att påverka många grundläggande föreställningar om t.ex. mängder, tal, oändlighet och kontinuitet. C:s största betydelse ligger i att han överhuvudtaget betraktade oändliga mängder som legitima matematiska objekt och utvecklade en matematisk teknik för att studera egenskaper hos dem. Den mängdteori som han härigenom skapade är idag inte bara en särskild matematisk disciplin utan genomsyrar mycken nutida matematik. Den utgör en självklart förutsatt ram för många matematiska framställningar, har spelat stor roll för matematisk grundvalsforkning och har tidvis infuerat t.o.m. skolundervisningen i matematik. Den s.k. Cantor-mängden fås genom att från intervallet 0 < x < 1 ta bort den mellersta tredjedelen 1/3< x < 2/3 och sedan förfara på motsvarande sätt med de två återstående intervallen etc.
Bild 9
Litt.:
J.W.Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (1979).
Gaston Julia
, 1893-1978, fransk matematiker verksam i Paris, framför allt känd genom begreppet Julia-mängder. Dessa studerades på 1920-talet av Julia och fransmannen Pierre Faton men blev allmänt kända först genom de datorframställda, fantasieggande bilder som blev vanliga under 1980-talet. (se fraktal)Hoppa till index
Dimensionsteori
Matematiskt begrepp. Ordet dimension har många olika betydelser inom matematiken, och i varje sammanhang finns en motsvarande dimensionsteori. Dimension betyder "utsträckning", och den mest ursprungliga idén framgår av bilden nedan.
Bild 7
Georg Cantor vände i slutet på 1800-talet upp och ned på dessa intuitiva begrepp genom att t.ex. visa att sträckan b (se bild 7) hade "lika många" punkter som arean i c. Men figurerna a-d är även topologiska rum (se topologi), och inspirerade av Poincarè lyckades L.E.J. Brouver, P.S. Uryson och Karl Menger i början av 1900-talet komma fram till en dimensionsteori för topologiska rum, som var sträng och som gav de önskade svaren i fallen a-d. Grovt uttryckt är deras definition följande: dimensionen av ett (topologiskt) rum X är < n, där n är ett heltal, om varje punkt i X har hur små omgivningar som helst, vilkas gränser har dimensionen < n - 1 (man sätter dimensionen av det rum som inte har någon punkt till -1). För de vanligaste rum som förekommer "i praktiken" leder detta till ett rimligt dimensionsbegrepp. Det är också möjligt att förfina dimensionsbegreppet så att snöflingekurvan i bilden nedan)
Bild 8
får den fraktala (Hausdorff-)dimensionen 1,26.Inom algebran förekommer dimension i många sammanhang. Dimensionen av ett vektorrum V definieras som antalet element i en bas för V. En kommutativ ring R sägs ha Krull-dimensionen ≤ n om det för varje strikt växande svit av primideal i R: p0 c p1 c ... c pt c R gäller att t ≤ n.Beträffande homologisk dimension, se homologisk algebra.
Litt.:
W.Hurewicz & H.Wallman, Dimension Theory (rev. uppl. 1948)
Vill du titta på några olika typer av fraktaler?